Верно написание строчными буквами: двукратный чемпион мира.
Правильно: около четверти, примерно четверть.
Оба варианта верны, однако они различаются по смыслу: Одним из друзей, читавших книгу, был Миша (все друзья читали книгу); Одним из друзей, читавшим книгу, был Миша (из всех друзей только Миша читал книгу).
Правильно: история Древнего мира и Средних веков.
Допустимы оба варианта.
Следует писать в кавычках с маленькой буквы: Тибет — "крыша мира".