Верно: муниципального общеобразовательного бюджетного учреждения «Лицей..»
Орфографически верно: Лилечка. Но в семейной переписке может встречаться и вариант с И.
Корректно: Директору ГБОУ "Лицей № 101".
Имя, отчество и фамилию директора можно выделить с двух сторон либо запятыми, либо двумя тире. Сочетание запятой и тире неудачно.
Правильно в дательном падеже: Лилии.
Верно: города Бельцы. Географическое название, выступающее в функции приложения, обычно не склоняется, если внешняя форма названия соответствует форме мн. числа.
Оба выражения верны. Сочетания преподаватель школы, преподаватель лицея часто используются как официальные наименования лиц по профессии, а сочетания преподаватель в школе / в лицее — варианты, отмечающие место работы человека.
Д. п. - Лилии.
Правильно: Лилия, Лилии, Лилии, Лилию, Лилией, о Лилии.