Верно: карта с 2000 (читается как с двумя тысячами) баллов.
Предпочтителен вариант без предлога: дорожная карта чего-либо (в значении "план действий").
Имя куклы Барби пока не перешло в разряд нарицательных, как, например, петрушка, и пишется с заглавной буквы без кавычек, см. словарную фиксацию. В сочетании играть в Барби по аналогии с играть в куклы имя используется в переносном значении, как название игры. Пока и при таком употреблении заглавную букву нужно сохранять. Подобные примеры в практике письма встречаются, но они немногочисленны.
Если это французская фамилия с ударением на последний слог, то она не склоняется. Если это не французская фамилия, то склоняется.
О происхождении этого названия см. в пособии М. В. Горбаневского «Окликни улицы Москвы».
Корректно: к чему привязана банковская карта.
Карту со встроенным чипом обычно называют смарт-картой.
О происхождении названия Арбат см. в пособии М. В. Горбаневского «Окликни улицы Москвы».
