Верно с прописной буквы: Московский регион.
Склоняется вторая часть названия - Шампань. Вероятно, правильным будет дефисное написание: в Гран-Шампани или в Гранд-Шампани.
Правильно: Республика Татарстан.
Предпочтительно: расположено три объекта. Однако и второй вариант не будет ошибкой.
Сочетание корректно.
Корректно согласование во мн. ч.
Вы написали верно.
Здесь приложение относится к одному слову, а не сочетанию, поэтому следует писать через дефис: пять учителей-предметников региона.
Лучше: проживает.