Да, пару курица – кура нередко приводят как пример одного из наиболее известных различий речи москвичей и петербуржцев (наряду с бордюром / поребриком и шаурмой / шавермой). Тем не менее литературной норме (кодифицированной словарями) соответствует только курица. Употребление кура в единственном числе возникло, по всей вероятности, из-за формы множественного числа: в именительном падеже мн. числа нормативно только куры (не курицы). Носитель языка может заключить: если во мн. числе – куры, то в ед. числе – кура.

Правильно: курица гриль, куры гриль.

Слова кура в русском литературном языке не существует. Есть существительное курица, представленное 12 словоформами. Словоформы единственного числа образованы от основы куриц-: курица, (нет) курицы, курицу и т. д. Словоформы множественного числа образованы от основы кур-: куры, кур, курам и т. д.

Форма мн. ч. существительного курица - куры.

Следует писать через дефис: мясо-яичный, мясо-молочный.

Интересный вопрос. Согласно толковым словарям русского языка, слово стая означает 'группа животных одного вида, держащихся вместе'. Таким образом, словарное толкование допускает возможность сочетания стая кур (хотя и возникает вопрос, можно ли говорить, что куры «держатся вместе», ведь их совместное проживание в курятнике вызвано не желанием самих кур, а волей человека). Теоретически возможно и сочетание стадо кур (стадо – группа животных одного вида, а также пасущийся вместе скот).  Однако в живой речи сочетания стая кур, стадо кур вряд ли употребимы, достаточно – просто: куры.

Правильно: курица (ед. число), куры (мн. число).

Слово гриль выступает здесь в качестве неизменяемого определения, следующего за существительным. Сочетания с такими определениями пишутся раздельно, ср.: юбка клеш, масса нетто, вагон люкс, цвет электрик и т. п.