Да, мужская фамилия склоняется. Обратите внимание на творительный падеж: Павливом.
Корректно: ледовая арена "Трактор". В кавычки заключается собственное условное наименование. Нарицательное наименование (ледовая арена) пишется строчными.
Можно склонять и не склонять.