Мужская фамилия Кунц склоняется: Евгения Кунца, Евгению Кунцу и т. д.
Возможен вариант с двумя тире: Главный герой – Евгений Базаров – учится на доктора.
Да, мужская фамилия Король склоняется. Правильно: Королю Евгению.
Имя следует склонять, верен первый вариант.
Грамматически верны оба варианта, но предпочтительно склонение без выпадения гласного: Дёготю.
Первое слово в таких названиях пишется с большой (прописной) буквы.
Правильно.