Согласно «Общероссийскому классификатору стран мира» официальное название: Папский Престол (Государство-город Ватикан). В обиходной устной и письменной речи, при неофициальном употреблении обычно используется только слово Ватикан.
Нет, верно слитное написание.
Правильно: курский завод "Прибор".
Предпочтительно раздельное написание.
В данных названиях ни кавычки, ни прописные буквы не нужны.