Дополнительные знаки препинания не требуются.

Под гору означает спускаться. Под гору – вниз, в гору – наверх.

Оба варианта правильны. Выбираете Вы.

Согласно «Толковому словарю иноязычных слов» Л. П. Крысина, слово помпезный происходит от французского pompeux, восходящего к латинскому pompa, греческому pompe 'триумфальное шествие'. Но связаны ли между собой греческие слова pompe и pempo? С этим вопросом мы обратились к постоянному консультанту «Справочного бюро» специалисту по классическим языкам Н. И. Березниковой. Вот что ответила нам Наталья Ивановна:
Слова pompe и pempo, скорее всего, связаны. Первое из них (существительное) имеет значения: 1) отправление, посылка, доставка; 2) насылание, ниспосылание; 3) сопровождение, проводы; 4) переезд, поездка; возвращение; 5) торжественное шествие, процессия; 6) торжественность, пышность; 7) (у римлян) триумфальное шествие.
Второе – глагол: 1) посылать, отправлять; 2) ниспосылать; 3) сопровождать, провожать, отвозить; 4) культ. сопровождать в торжественной процессии (даже есть сочетание pempo pompe), торжественно справлять; 5) испускать, издавать.
Таким образом, мы видим, что это – практически – очень распространенная в индоевропейских языках ситуация с абляутом. Ср. русское «нести ношу», «вождь ведет», английское food и feed...

Если эти слова используются в прямом значении, то это синонимы. Подробнее см. в словарях.

Можно, ошибки не будет.

Запятая не нужна. Правильно: «Да и не надо сейчас губы-то распускать» – так мать говорит, когда кто-нибудь оплошает.

Следует писать слитно: в некипящую воду.

Сказуемое вправе требует, чтобы был назван субъект действия - кто вправе?

Запятая обязательна, ее отсутствие недопустимо.