Правильно: 3-дневный.
От существительного лицей образуется только прилагательное лицейский. Слово лицейный нам неизвестно.
Оба термина употребляются, и, насколько мы можем понять, без существенной смысловой разницы.
Правильно: в 3-дневный срок. Обратите внимание: не под роспись, а под подпись. См. в «Словаре трудностей»: Подпись, роспись и виза.
От существительного лицей образуется прилагательное лицейский. Правильно: учиться по лицейской программе.
Это существительное среднего рода.