Правильное написание: из-под мышек. Это словарное слово, написание нужно запомнить.
Правильно: документы направлены в суд.
Знак препинания зависит от смысла. Тире нужно поставить, если первая часть указывает на время (Когда испуганный ребенок осторожно высунул лицо из-под одеяла, монстра как не бывало). Двоеточие соответствует другой интерпретации смысловых отношений между частями: Испуганный ребенок осторожно высунул лицо из-под одеяла и увидел: монстра как не бывало.
См. в Проверке слова.
Запятая факультативна (необязательна).
Оба варианта правильны, выбор варианта зависит от контекста. Ср.: пить воду из-под крана, но: вода течет, капает из крана.