Правильно: Приемная комиссия ... государственного университета и в выходные дни трудилась не покладая рук.
Оба варианта правильные.
Корректно: массаж с кремом для рук.
Запятая не ставится.
Вылазить - разговорно-сниженный вариант. Нейтрально: вылезать.
Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются, женские – нет. Склонение мужских фамилий Пинчук, Трачук, Гук аналогично склонению существительного жук: Пинчука, Трачука, Гука; Пинчуку, Трачуку, Гуку и т. д.; мн. число: Пинчуки, Трачуки, Гуки; Пинчуков, Трачуков, Гуков и т. д.
Нет, в таком значении это сочетание не употребляется.
Кавычки не нужны.