Правилен первый вариант.
Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Верно: Протяни руку, и книга заговорит.
Нет, это не вводные конструкции, а самостоятельные предложения.
Оба варианта правильны, но имеют разные значения.
Вариант взять карту в руку означает буквально взять карту и держать её в руке. Также в литературном языке имеется выражение взять карту на руки — то есть получить (медицинскую) карту лично, будучи ее владельцем. Вариант «взять карту на руку» используется в карточных играх как профессионализм и означает взять карту для последующего использования в игре.
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
В этом значении верно: прилагает руку.
Норма современного русского языка: идти, прийти.
Если в тексте нет противопоставления, предпочтительно слитное написание неведущая рука.
