В названии прописная буква, конечно, нужна, а в Вашем примере слово старый можно рассматривать как определение, еще не ставшее частью названия, и писать со строчной буквы.
Оба варианта верны.
Значение слова софист Вы можете узнать в Большом толковом словаре на портале.
Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Правильно: заменить что чем: заменить старое оборудование новым.