Кавычки нужны. Верно: ВИА "Самоцветы".
На родовую принадлежность влияет внешний облик этого слова: вуз — звуковая аббревиатура, пишется по традиции строчными, склоняется, т. е. она максимально «похожа» на обычное имя существительное второго (по школьной грамматике) склонения. Облик слова в данном случае оказался важнее опорного слова заведение.
Правильно: вуз.
Правильно: окончил.
Аббревиатура вуз в написании строчными буквами была закреплена еще Правилами русской орфографии и пунктуации 1956 года. В энциклопедиях и часто в лингвистических словарях заголовочное слово статьи пишут прописными буквами.
Можно употребить оба слова – и наименование, и название. Они синонимичны и различаются стилистически: название – нейтральное, наименование – характерно для официально-деловой речи. Обратите внимание: аббревиатура вуз пишется строчными.
Это слово пишут строчными: вуз, в вузе.
