Оба варианта верны.
Правильно: внедрение во что? (в производство).
Слово идти многозначно, и одно из значений очень широкое – 'двигаться, перемещаться в пространстве' (примеры из словаря: Поезд идёт. Баржа идёт по реке. Идти под парусом. Груз идёт морем. Идти на вёслах). Поэтому приведенная Вами фраза не ошибочна.
Предлог пишется так: в течение (всего лета, месяца, отпуска...).
Слово-то существует. Но с какой целью Вы используете именно форму множественного числа? Наверное, форма единственного числа будет более уместной?