Правилен первый вариант. Глагол перечить относится ко II спряжению, так как имеет безударные личные окончания, в инфинитиве заканчивается на -ить, не относится к исключениям. В личных окончаниях глаголов II спряжения пишутся гласные и, а, я.
Определить окончание глагола можно с помощью орфографического словаря. Там указывается форма первого и третьего лица единственного числа. Окончание третьего лица единственного числа позволяет установить спряжение. Окончание -ет говорит о том, что глагол относится к I спряжению, -ит — ко II спряжению.
1. Со строчной: дни города (дни городов).
2. Также со строчной.
Корректно: продуманы до мелочей.
Корректно: они стелют.
Возможны варианты написания. Раздельно - при подчеркивании отрицания.
Правильно: они надеются.
