Правильно: курица (ед. число), куры (мн. число).
Оба варианта корректны.
Слова кура в русском литературном языке не существует. Есть существительное курица, представленное 12 словоформами. Словоформы единственного числа образованы от основы куриц-: курица, (нет) курицы, курицу и т. д. Словоформы множественного числа образованы от основы кур-: куры, кур, курам и т. д.
Предпочтительно: ...курит.
Правильно: курица гриль, куры гриль.
Оба варианта возможны.
Если курс обучения завершен, то лучше использовать совершенный вид глагола: Иванову, прошедшему.