Вышить – глагол первого спряжения, принадлежать – второго. Тип спряжения у глаголов с ударными личными окончаниями (для глагола вышить – по глаголу шить) определяется по окончаниям: шьют (первое спряжение), принадлежат (второе спряжение).
Правильно: вешать пальто, повесить пальто.
Сочетание решить проблему корректно и зафиксировано в словарях.
Оба варианта возможны.
Правильно: верить во что-то.
Это выражение корректно.
Да, это корректное сочетание.
Есть, Вы написали правильно.
В словарях зафиксированы варианты: разобраться в ситуации, выйти из (сложной) ситуации; решить вопрос, проблему. Вариант решить ситуацию в словарях в качестве корректного найти не удалось.
Это нарушение лексической сочетаемости: решить можно, например, задачу, а упражнение выполняют.