Эту аббревиатуру нужно склонять.
Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Все служебные слова (союзы, артикли, предлоги) в составе личных имен пишутся со строчной буквы вне зависимости от позиции в начале или в середине слова: Александр фон Ганн и фон Ганн.
Правильно: заезжай.
Все слова в сочетании "день рождения" пишутся строчными.
Знаки препинания расставлены правильно.
Запятая ставится (обособляется обращение).
Возможны оба варианта: самое красивое место в Москве и самое красивое место Москвы.