Это неудачная калька с английского. Правильно: здоровый образ жизни.
Могут не отделяться запятой от определяемого слова только нераспространенные определения. Если определение стоит после определяемого слова и имеет зависимые слова (как в Вашем примере), запятая ставится.
Корректен первый (беспредложный) вариант.
Вне всякого сомнения, существительное жизнь может быть употреблено в форме множественного числа. Примите во внимание смысловое различие сочетаний типа спасти жизни и спасти жизнь. Существительное в форме множественного числа приобретает конкретное предметное значение и близко по смыслу выражению живые люди. См. также ответ на вопрос 203116.
Верно: не подавая признаков жизни.
Оба варианта правильны, выбор слова зависит от задач автора.
Оба варианта верны.
