Поскольку здесь сказуемое следует за подлежащим (см. § 2246 Русской грамматики 1980 г.), а также подчеркивается, что действующие лица были разные, необходимо множественное число сказуемого: И Антон, и Роман писали диссертацию.
Все слова в сочетании "день рождения" пишутся строчными.
Правильно: заезжай.
Запятая ставится (обособляется обращение).
Здесь также используется окончание -А.
Корректно: получил название Марсова поля.
Можно сказать и так и так.
Решать этот вопрос должен "автор" уменьшительного имени, в зависимости от ударения. Буква О в окончании слова пишется под ударением, буква Е - в безударной позиции.