Согласно строгой литературной норме названия островов не склоняются: на острове Татышев, островом Татышев. Но в разговорной речи склонение возможно, в этом случае следует склонять название острова как фамилию на -ев: на острове Татышеве, островом Татышевом. См. полный академический справочник «Правила русской орфографии и пунктуации» («Эксмо», 2006) и справочник «Грамматическая правильность русской речи. Стилистический словарь вариантов» (авторы: Л. К. Граудина, В. А. Ицкович, Л. П. Катлинская), а также Письмовник.
Об одном острове корректно: остров Курильской гряды.
Традиционно в русских текстах использовался вариант Ивиса. Такое написание фиксирует «Большая советская энциклопедия», этот же вариант сейчас используется и в русской «Википедии». Написание и произношение Ивиса отражается произношение этого названия в языке-источнике.
Однако бессмысленно отрицать, что сейчас в подавляющем большинстве случаев используется вариант Ибица. Можно лишь предполагать, как возникла такая форма – из-за незнания правильного варианта, произношения слова Ibiza «по буквам» или по другим причинам – но факт остается фактом: вариант Ибица практически вытеснил вариант Ивиса. Словари, однако, этот вариант пока не фиксируют.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Правильно: национальный парк «Лосиный Остров». Слово остров пишется с большой буквы, поскольку употребляется не в своем основном значении (это не остров, а лесной массив).
Правильно: вглубь острова, вглубь Арктики. Ср.: в глубь океана (=в глубину).
Правильно: остров Татышев.
Правильно не склонять: с острова Русский. Однако в разговорной речи нередко употребляются согласуемые формы: приехали с острова Русского.
Правильно: Остров свободы.
