Орфографически правильно: «Мой мир».
Запятая между двумя частями сложносочиненного предложения, каждая из которых представляет собой назывное предложение, не ставится.
Возможны варианты: доступ к чему-либо, доступ куда-либо. Не вполне ясно, каков смысл фразы.
Верно с маленькой буквы: карта мира.
Сочетание старый как мир является устойчивым, запятая не ставится.
Возможные варианты: любимой экранизации романа "Война и мир" и любимой экранизации "Войны и мира".
Доступнее - нейтральный вариант, доступней - разговорный.
Слово мир относится к праславянскому пласту лексики, имеет соответствия в современных славянских языках (чешском, сербском и др.), имеет родственные связи в балтийских языках, в латыни (mitis 'нежный, спокойный') и древнеиндийском (mitras 'друг').