Корректно: под подпись.
Оба варианта верны.
См. в Непростых словах.
Правильно: Приказ довести до лиц, указанных в приказе, под подпись. Обособляется определительный оборот, стоящий после определяемого слова. Обратите внимание, что в этом значении правильно употреблять слово подпись.
Нет, верно: с 2001 по 2005 год.
Правильно: экономия в расходах (бережливость, расчетливость при расходовании чего-л.).