Аналогия применима. Корректно: Нью-Йоркский метрополитен (собственное наименование), но нью-йоркское метро (передача разговорного употребления) – как Московский метрополитен (официально) и московское метро (неофиц.).
Запятая не нужна. Обратите внимание: правильно – Нью-Йорк.
По-русски название этого города пишется через дефис. Правильно: Стара-Загора. Многие иноязычные географические названия, которые в языке-источнике пишутся раздельно, по-русски пишутся через дефис, ср.: Нью-Йорк (англ. New York), Буэнос-Айрес (исп. Buenos Aires) и др.
Да, в таких случаях обе части пишутся с большой буквы: Нью-Йоркская фондовая биржа.
Иноязычные географические названия склоняются в сочетании со словом город, если они хорошо известны, если они освоены русским языком (в городе Нью-Йорке, из города Мадрида). Малоизвестные географические названия остаются без изменений. Название Эльблонг не так известно носителям русского языка, поэтому корректно: в городе Эльблонг. Впрочем, если это сочетание встречается, например, в газете, выходящей в Калининградской области (жителям которой название города наверняка хорошо известно), можно написать и в городе Эльблонге.
Есть орфографическое правило: пишутся через дефис прилагательные, образованные от существительных, пишущихся через дефис, в том числе от пишущихся через дефис собственных имен, напр.: санкт-петербургский (от Санкт-Петербург), нью-йоркский (Нью-Йорк), коста-риканский (Коста-Рика), лос-анджелесский (Лос-Анджелес), сан-францисский (Сан-Франциско), алма-атинский (Алма-Ата), йошкар-олинский (Йошкар-Ола), усть-каменогорский (Усть-Каменогорск), соль-илецкий (Соль-Илецк), орехово-зуевский (Орехово-Зуево) и т. д. Исключения: москворецкий и китайгородский. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006. Поэтому орфографически верно: коста-риканский кролик.
В пишущихся через дефис прилагательных, образованных от географических названий, обе части пишутся с прописной буквы, если эти прилагательные начинают собой наименования – географические и административно-территориальные, наименования исторических событий, учреждений, памятников и т. п., например: Западно-Сибирский металлургический комбинат, Санкт-Петербургский государственный университет, Орехово-Зуевский педагогический институт, Нью-Йоркский филармонический оркестр, Алма-Атинский метрополитен. В остальных случаях они пишутся строчными. Правильно: алма-атинские истории (в середине предложения), Алма-атинские истории (в начале предложения). В названии книги: «Алма-атинские истории».
По-русски этот город традиционно называется Новый Орлеан (т. е. определение переводится на русский язык). Корректно использовать именно это название.
Возможны оба варианта: предлог на подчеркивает, что имеется в виду остров, предлог в – что речь идет о районе Нью-Йорка. Обратите внимание на орфографию: Манхэттен.
Корректно без кавычек: Штат садов (ср.: Город желтого дьявола, Страна утренней свежести – образные названия городов и стран не заключаются в кавычки, поэтому так же можно писать и образное название штата).
