Правильно с прописной: это Сашина (Лилина, Петина) шляпа.
Выбор предлога зависит от контекста, например: поехать в НПО, жалоба на НПО.
Склоняется и мужская, и женская фамилия.
Да, обе фамилии склоняются, как в мужском, так и в женском варианте.
Верны оба варианта, второй отличается разговорным оттенком.
Словарная фиксация: латинос.
Корректно: стирательная резинка, резинка, ластик (впрочем, некоторые лексикографы считают, что это наименование носит разговорный характер). Стёрка, стирка, стирашка, гумка, клячка, клачка и др. — просторечные и региональные наименования этого предмета.