Род можно определить, зная склонение этих слов.
Можно сказать: петь под караоке (ср.: под фонограмму), петь с караоке.
Лучше сказать: уже в этом году, уже в следующем году.
Фамилии такого типа (совпадающие с нарицательными существительными) могут склоняться двояким образом: с выпадением гласного (Зайца, Зайцу и т. п.) и без него (Заяца, Заяцу и т. п.). Предпочтителен второй вариант склонения, так как в этом случае из косвенных форм легко вывести начальную форму фамилии.
Этот процесс называют освоением заимствования.
Так как слово кабинет уже фиксируется словарями в значении 'орган власти в государстве; то же, что правительство или его часть', 'состав министров, входящих в правительство' и при этом как усеченное официальное название пока не используется (ср. Дума наряду с Государственная дума), корректно написание со строчной буквы, если в тексте фраза воспринимается однозначно: В этом году будет сформирован кабинет. Если же возникает двусмысленность, то лучше использовать полное название Кабинет министров.
Предложение неудачно. Желательно его переформулировать.
Имеется в виду село Нялинское? Или юрта (жилище): родился в юрте?
Названия, написанные латиницей, в текстах на русском языке обычно не заключаются в кавычки: правоохранители поставили номер под хит Thriller.
Правильно: Он записывал все, что ни подвернется под перо.
