Можно использовать кавычки разного рисунка (вневние и внутренние) или оставить только одни закрывающие кавычки.
Верно: четыре корневых канала.
Предоставляют поддержку, поэтому верно: меры социальной поддержки, предоставляемой за счет средств бюджета.
Общего правила нет. Существительные, обозначающие род деятельности, чаще употребляются в форме ед. ч.
См. в «Письмовнике».
В значении "двигаться или падать в большом количестве", как указывает "Большой орфоэпический словарь русского языка", нормативно ударение валит и допуст. младш. валит. Интерактивное задание мы поправим, спасибо за внимательность!
Сочетание дают влияние выглядит странно. Сравним предложения, приводимые в «Большом толковом словаре русского языка» в качестве примеров употребления слова влияние в значении «сила авторитета, власти»: Человек с большим влиянием в обществе. Подчинить своему влиянию кого-л. Выйти из-под влияния кого-л. Находиться под чужим влиянием. Использовать всё своё в. Возможно, стоит отредактировать предложение так: Видят тех, кто двигает процесс, — таким сотрудникам дают больше свободы, они приобретают большее влияние.