Сочетание глаз-алмаз действительно пишется через дефис. Во-первых, слово алмаз является приложением, определением к слову глаз (глаз какой? алмаз), приложения такого типа пишутся через дефис (аспирант-исследователь, писатель-произаик и т. п.). Во-вторых, сочетание глаз-алмаз близко к выражениям с повторяющейся (рифмующейся) последней частью типа танцы-шманцы, шашлык-машлык, а такие выражения пишутся через дефис. Но, поскольку задания в квизах должны быть сформулированы безупречно и с формальной, и с содержательной точки зрения, обратите внимание, что глаз-алмаз — это не одно слово, а два (в отличие от сложных слов типа диван-кровать или школа-интернат).
Да, запятая нужна.
На этот вопрос отвечает форма другого глагола - соблюсти (соблюдут).
Это сочетание пишется строчными буквами.
Подробно об этом см. в "Справочнике по пунктуации".
В приведенной фразе (деепричастный оборот) запятая не нужна.
Сочетание гонят самогон тавтологично, но не ошибочно, оно зафиксировано словарями русского языка.
Поставленная Вами запятая не нужна.
Правильно: безумолчный.
