Учитель неправ. Оба варианта переноса верны. Группа неодинаковых согласных букв в середине слова, входящих в корень или образующих стык корня и суффикса, может быть разбита переносом любым образом. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / под ред. В. В. Лопатина. М., 2016. § 217.

1. В официальных текстах корректно: «Инстаграм». Подробнее см. в «Письмовнике».

2. Запятая нужна, т. к. второе определение (две тысячи шестнадцатый) имеет пояснительное значение.  

В предложении возможны два разных варианта постановки знаков препинания при приложении физическим лицам, относящемся к существительному доверителям. Эти варианты передают разный смысл. 

1. Одиночное тире после доверителям, заменяющее собой дефис. Если бы приложение было однословным, его нужно было бы писать через дефис (например: доверитель-организация). Согласно правилам координации, если приложение неоднословное, дефис заменяется на тире: При этом доверителям — физическим лицам доступна упрощенная регистрация... (См. параграф 154 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина.) В этом случае в предложении будет «прочитываться» не только то, что тому доверителю, который является физическим лицом, доступна упрощенная регистрация, но и то, что другим типам доверителей она недоступна; сами же эти типы существуют.

2. Выделение приложения физическим лицам с двух сторон запятыми или парным тире, например: При этом доверителям — физическим лицам — доступна упрощенная регистрация... В таком случае сочетание физическим лицам станет пояснением к слову доверителям. «Пояснительные члены предложения равнозначны поясняемым, но называют их по-другому» (параграф 82 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина), а значит, в предложении будет подразумеваться, что доверителями могут быть только физические лица и что иных типов доверителей не существует.

Запятая нужна.

Правила согласования определений и сказуемых в подобных конструкциях см. в «Письмовнике».

Да, требуется склонение, в том числе и при употреблении названия в функции приложения.

Запятая не нужна. Стилистически лучше превратить эту фразу в сложноподчиненное предложение: Если специалист не может ответить на вопросы, звонок должен быть переадресован.

В данном случае Индийский - часть собственного наименования.

Запятая не требуется.

По основному правилу следует писать с запятой. Вариант с тире также возможен при соответствующей интонации.