Это краткое причастие. Ср.: включена.
Предложение составлено некорректно, его следует перестроить.
Да, определение нужно выделить запятыми.
Нет (в отличие от "покончил с жизнью, с собой").
Следует писать слитно: недопустимо.
Кавычки не нужны.
Умница – слово общего рода, т. е. оно может употребляться и как существительное мужского рода, и как существительное женского рода: ты такой умница и ты такая умница.
Д. Э. Розенталь указывает: если между главной и придаточной частями сложноподчиненного предложения стоит вводное слово, то оно выделяется запятыми на общих основаниях. Согласно этой рекомендации корректно: Закаляться важно, например, чтобы снять стресс.
Однако такое пунктуационное оформление может порождать двусмысленность: здесь акцент на примере (логическое ударение падает на слова снять стресс) или на важности закаливания (логическое ударение падает на слово важно)? Поэтому для выражения второго смысла лучше использовать тире вместо первой запятой: Закаляться важно — например, чтобы снять стресс.
Запятая нужна.
