Мужская и женская фамилия будут склоняться одинаково: Элиава, Элиавы, Элиаве, Элиаву, Элиавой, об Элиаве.
Да, по правилам фамилия Луць, принадлежащая мужчине, должна склоняться. В противном случае контексты типа принадлежит А. И. Луць (вместо принадлежит А. И. Луцю), наградили А. И. Луць (вместо наградили А. И. Луця), говорили об А. И. Луць (вместо говорили об А. И. Луце) будут ясно показазывать, что речь идет о женщине.
При слове семья фамилия обычно ставится в форме единственного числа, например: семья Оппенгейм, семья Гофман-сталь. Полагаем, что эту рекомендацию можно распространить и на интересующий Вас случай: дом Паркер.
Склонение мужской фамилии Шиц обязательно, это регулируется законами русской грамматики. Женская фамилия Шиц не склоняется.
Корректно склонять с выпадением гласного: Антоненку Дмитрию.
Фамилия Малга склоняется во всех вариантах по первому склонению (Малги, Малге, Малгу, Малгой, о Малге)
Правильно: Лилии.
