Эти названия подчиняются общим правилам. Верно: в городе Чусовом, в городе Прохладном.

Этот вопрос интересен исключительно с точки зрения школьной практики, нормативного или иного предметного содержания он не имеет. Поэтому и решать его нужно исключительно как школьную задачу.

Действительно, одно из основных правил переноса звучит так: нельзя отделять гласную букву от предшествующей согласной, если это согласная – не последняя буква приставки. Например, недопустим перенос кам-ин, див-ан (правильные переносы: ка-мин, ди-ван), но допустим перенос без-аварийный.

Однако сочетания гласных можно разделять переносом. Перенос во-ин не противоречит правилам, поскольку: а) переносится часть, составляющая слог и б) гласная не отрывается от согласной.

Что касается переноса фо-йе, то он действительно недопустим: не разрешается отделять переносом букву Й от предшествующей гласной буквы. Слово фойе вообще не переносится. Между словами фойе и воин есть большая разница, ведь Й – согласная буква, а не гласная.

Подробно о правилах переноса см. здесь.

К сожалению, на "синхронном" уровне выявить беглую гласную в корне слова иностранные студенты могут, только обратившись к словарю. Беглая гласная О характерна для слов, пришедших из древнерусского языка (т. е. для весьма значительной, подавляющей части исконно русских слов), и нехарактерна для "новых" и заимствованных слов (например, слово бифидок склоняется без выпадения гласной, слово альпеншток - также). Беглую гласную Е можно обнаружить в некоторых суффиксах, например -ЕК (замочек - замочка). Беглыми в русском языке бывают только гласные Е и О.

В словах фортепиано и фортепианный корень один, но его звуковой и буквенный состав немного различается. В русском языке так бывает. Четвероклассник уже наверняка сталкивался с такими явлениями, как чередование в корнях (например, книга — книжка, любить — люблю), беглость гласной (сон — без сна), появление в конце приставки гласной о (подбежать — подобраться). Заимствованное слово фортепиано заканчивается на о. Эта гласная могла бы стать окончанием, как в русских словах на о, например: яблоко, окно. Здесь о — окончание, так как это изменяемая часть, ср.: яблоко – яблока, яблоку, яблоком и т. д. Но заимствованное слово фортепиано не стало склоняться, как и многие другие заимствования на о, например: пальто, депо, авокадо, дзюдо. Раз существительное фортепиано не склоняется — окончания у него нет, конечное о принадлежит корню. При образовании в русском языке с помощью суффикса -н- прилагательного фортепианный гласная о усекается, остается корень фортепиан-. То же происходит и в словах пальтецо, пальтишко, авокадовый. 

От имен, оканчивающихся на -й, отчества образуются посредством присоединения суффиксов -евич, -евна; конечный й опускается: Николай – Николаевич, Николаевна, Сергей – Сергеевич, Сергеевна, Тимофей – Тимофеевич, Тимофеевна, Дмитрий – Дмитриевич, Дмитриевна. При этом у значительной группы имен, оканчивающихся на -ий, при образовании отчества -ий заменяется на ь, однако образование таких отчеств у носителей языка обычно не вызывает затруднений: Юрий – Юрьевич, Юрьевна, Евгений – Евгеньевич, Евгеньевна. От многих имен на -ий образуются двоякие формы: Геннадий – Геннадиевич и Геннадьевич, Мефодий – Мефодиевич и Мефодьевич – в таких случаях орфографически верны оба варианта, но в документах одного человека написание должно быть единообразным.

Если же имя кончается на -ия, -ея, действуют такие правила. Если ударение не падает на конечный я, то при образовании отчества эта безударная гласная опускается: Исаия – Исаиевич, Исаиевна; Осия – Осиевич, Осиевна. Если же ударение падает на конечный я, то при образовании отчества эта гласная сохраняется: Зия – Зияевич, Зияевна. Мягкого знака в таких отчествах нет; исключение: Илия – Ильич, Ильинична.

Согласно «Справочнику по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя собирательное числительное трое употребляется с одушевленными существительными мужского и среднего рода, поэтому оба приведенных варианта правильные.