Приведенное Вами значение слова вечерка словарями не фиксируется. Однако нам представляется, что в разговорной речи, если собеседникам будет понятно, о чем идет речь, назвать вечеркой учебу во вторую, вечернюю смену возможно. Писать его можно и с е, и с ё, а произносить нужно вечёрка. О правилах употребления буквы ё, ее истории и спорах вокруг нее читайте здесь.
Такой вариант имени не склоняется: Нинок приняли в продавщицы не сразу.
Пунктуация верна. В этом случае слово всё употреблено в значении «конец, кончено». Оно представляет собой синтаксический фразеологизм, образующий отдельную часть сложного предложения.
Знаки препинания при сочетании а так, выражающем уступительно-противительные отношения, не кодифицированы. На практике после этого сочетания чаще ставится тире, но возможны и два других указанных Вами варианта.
В толковых словарях русского языка слово будень отмечено как устаревшее и просторечное (о чем и должен сообщать ответ справочной службы). Стилистические особенности слова иллюстрируются цитатами из художественных произведений: «Ведь ты знаешь, что в будень мне некогда, я занят; в воскресенье, если погода будет хороша, пожалуй, съездим» [А. Н. Анненская. Мои две племянницы (1882)]; «Упражнять вас в этом чувстве мы по-настоящему должны всегда, в будень и в праздник» [А. П. Чехов. Праздничные (1884–1885)]; «Приехала с мужем, в будень, в четыре часа, нарядная, любезная, благоухающая сладкою фиалкою...» [Ф. К. Сологуб. Мелкий бес (1902)].
Во второй части предложения есть формальное подлежащее – местоимение что, а значит, это двусоставное предложение. Получается, правило о непостановке запятой перед одиночными союзами и, или, либо, соединяющими структурно однотипные части, здесь не работает.
Вопрос об общем вводном слове в приведенном предложении не столь прост. С одной стороны, по смыслу слово наверное вполне может относиться как к первой грамматической основе (нездоровится), так и ко второй (что бывает), и это основание не ставить запятую перед союзом. С другой стороны, в предложении можно увидеть не предположения о том, что случилось (сравним действительно альтернативные версии: Наверное, ему нездоровится или его кто-то отвлёк), а сомнения в том, что слово нездоровится можно употребить по отношению к младенцу (в предложении не идет речь о двух предполагаемых ситуациях, а отражен поиск точного слова для обозначения одной ситуации). В таком случае вторая часть будет носить присоединительный характер, и это аргумент за постановку запятой перед союзом. В пользу этой версии может свидетельствовать то, что слово наверное невозможно присоединить напрямую ко второй части: *наверное, что там с младенцами бывает (тогда как предложение Наверное, ему нездоровится или его кто-то отвлёк легко раскладывается на два: Наверное, ему нездоровится и Наверное, его кто-то отвлёк).
Отметим, что приведенное предложение носит разговорный характер, а пунктуационные правила записи разговорной речи не разработаны детально, да и возможно ли их детально разработать, учтя все возможные варианты высказываний, – отдельный вопрос.
Можно сказать и так и так, если определяемое существительное, стоящее после числительного и определения, женского рода.
Да, слова наконец и наконец-то в данном случае обособлять не нужно.
В поэтической речи допускается использование слова рассмеясь, однако нужно учитывать, что оно стилистически не нейтрально: Тот, ра̀ссмея̀сь, как ха̀ркнет в снѐг: ― «На то̀ и ба̀ба ― хва̀стается» [М. И. Цветаева. Пастушество [Егорушка, 2] (1921)]; ― «Пусто̀е! ― ра̀ссмея̀сь, вскрича̀ло мѐлко плѐмя. ― Как бу̀дто на̀м в поля̀х друго̀го ко̀рма нѐт!» [И. И. Дмитриев. Ласточка и птички (1797)].
