Имя и фамилия физика обычно склоняются (правильно: изобретение Николы Теслы). Несклоняемой остается эта фамилия в составе технического наименования (трансформатор Тесла) и, по рекомендации некоторых словарей, в качестве названия единицы измерения магнитной индукции (тесла).
Да, запятая между частями сложносочиненного предложения нужна.
Образование формы 1-го лица ед. числа глагола бдеть затруднительно.
В состав современного русского литературного языка слово прорешивать не входит, так говорить не следует.
Правильно: Сначала я не поняла, при чём тут Нижний Новгород. Обособляется придаточное предложение.
На нашем портале нет сервиса автоматической проверки пунктуации. Но есть словарь-справочник, посвященный пунктуационным трудностям.
Проверочное слово - глЯдя. Корень - гляд-.
Допускается обособление при авторском интонационно-логическом выделении этого оборота.
Правильно: доезжай, подъезжай (можно проверять в Словаре трудностей в окне «Проверка слова»).
Литературной норме современного русского языка соответствует употребление глагола закупаться только в страдательном залоге: закупаются зимние вещи. Употребление слова закупаться в значении 'совершать покупки' – просторечие.
