Все нормативные словари отмечают, что у этого существительного отсутствует форма родительного множественного.
Ваше предположение верно: по имени Валя — приложение. Такие приложения, согласно параграфу 64 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.), обособляются, но могут и, согласно примечанию 1 к этому параграфу, «не обособляться, если они имеют основное, выделительное значение, т. е. не являются уточнением или пояснением впереди стоящего определяемого слова: Завел он себе медвежонка по имени Яша».
Правильно: наставник (кого?) молодых специалистов. Но возможен контекст и с дательным падежом. Ср.: слуга царю, отец солдатам, наставник молодым специалистам.
Эту фамилию нужно склонять.
Названия иностранных политических партий в русском языке не воспринимаются как условные и не нуждаются в выделении кавычками: иностранное слово само по себе достаточно выделяется. Ср. аналогичный подход в наименованиях информационных агентств: отечественные заключаются в кавычки (информационное агентство «Интерфакс»), а зарубежные — нет (агентство Франс Пресс).
Это предложный падеж (не винительный).
Запятая не ставится.
Такое употребление возможно, хотя встречается нечасто. Подробнее см. в словаре "Управление в русском языке".
Винительный.
Правильно: Нет никого, кто бы не жалел об ушедшей юности.
