Все просто: на взморье, на пограничье. В предложном падеже на -И оканчиваются только те существительные мужского и среднего рода с неодносложной основой, которые в им. п. оканчиваются на -ИЕ, ИЙ: о сидении, о гении (но: на сиденье). Исключение: в забытьи (с ударным И). 

Названия сёл среднего рода, оканчивающиеся на -ье, обычно не склоняются в сочетании с родовым словом. Корректно: села Белогорье. Подробные рекомендации см. в ответе на вопрос № 271037.

При образовании уменьшительных производных в них сохраняется грамматический род базового слова. Поскольку полотенце - среднего рода, то и уменьшительное слово должно быть среднего рода: полотенчико и полотенечко. Но есть исключения, например: тень (ж. р.) - тенёк (м. р.).

Слово татами может употребляться как существительное мужского и среднего рода.

Да, забавно :) Вопрос передадим автору текста.

См. ответ на вопрос № 238095.

Мамин – форма мужского рода (мамин подарок), мамина – форма женского рода (мамина книга), мамино – форма среднего рода (мамино зеркальце).

Канапе – существительное среднего рода (во всех значениях). Мы передали Ваш вопрос главному редактору «Большого толкового словаря русского языка» С. А. Кузнецову. По согласованию с ним в соответствующую словарную статью внесены исправления. Благодарим Вас за вопрос и за внимание к материалам нашего портала!

Нормативно: в сопровожденье, в молчанье, в подразделенье, хотя в ряде случаев допустимы варианты с -и.

Правила таковы:

Слова среднего рода на -ие имеют в предложном падеже, в отступление от общего правила, окончание -и, а не -е: в сопровождении, в молчании, в подразделении. Слова среднего рода на -ье имеют в предложном падеже окончание -е: в ущелье, о варенье.

У большого количества слов есть вариантные формы на -ие и на -ье, например: проклятие — проклятье, спасение — спасенье, возвращение — возвращенье, признание — признанье, молчание — молчанье и т. п. При этом формы на -ие часто являются общеупотребительными и стилистически нейтральными, а формы на -ье характерны для разговорной и поэтической речи (хотя может быть наоборот, ср. счастье — общеупотребительный вариант, счастие — устаревший, встречающийся в поэтических текстах). При наличии таких вариантов на -ие и -ье указанные падежные формы имеют разные окончания -и и -е, например: об умении — об уменье, в молчании — в молчанье.

Однако в художественной, особенно поэтической, речи допускается написание форм предложного падежа существительных среднего рода на -ье (обычно при предлоге в) с окончанием -и, например: В молчаньи шел один ты с мыслию великой (Пушкин). Ошибкой здесь это не является.

См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания).

Корректно: в с. Крапивна. Географические названия в сочетании с родовым словом обычно не склоняются, когда род обобщающего нарицательного слова и топонима не совпадают (здесь село среднего рода, Крапивна – женского).