Написание слов  антагонизм, антагонист и производных от них проверяется в словарном порядке (по орфографическому словарю) и обусловлено происхождением этих слов (они восходят к греческому antagonisma 'спор, борьба', antagonistes 'противник, соперник').

Правила не изменились. Но существует множество имен, на которые правила не распространяются, их написание закреплено традицией и проверяется в словарном порядке. Если словарной фиксации нет, то следует предпочесть дефисное написание.

Правописание слов проверяется в орфографическом словаре. Самый авторитетный на сегодняшний день орфографический словарь русского языка – «Русский орфографический словарь РАН» под ред. В. В. Лопатина – фиксирует только один вариант написания: риелтор.

Следует перефразировать. Соответствие изделия требованиям не проверяют при испытаниях Х, подтверждают испытаниями Y. Такое соответствие гарантируется заводом-изготовителем. Соответствие изделия требованиям не проверяется при испытаниях Х, подтверждается испытаниями Y и гарантируется заводом-изготовителем.

Наличие непроизносимого согласного проверяется подбором другой формы того же слова или другого родственного слова, где этот согласный произносится, например: праздный (празден), честный (честен, честь), совместный (вместе), поздний (опоздать) и т. п.

Вопрос о морфемном членении приведенных Вами слов непростой. Возможны различные подходы к морфемному членению слова, основанные на разных научных основаниях, предпринятые для разных научных или учебных целей. Есть и языковая интуиция носителя языка, которую обязательно нужно учитывать, чтобы не превратить анализ языкового явления исключительно в формальную процедуру. Морфемный разбор, как и разбор любого другого языкового явления, по большому счету не самоцель. Осознавать, из каких морфем состоит слово, нам нужно для того, чтобы понимать, по каким законам оно образовалось, как пишется, какую стилистическую роль играют отдельные морфемы в тексте и др. 

В современном русском языке слово объятия образуется от глагола объять, он, в свою очередь, ни от чего не образуется. На этом основании можно выделять корень объя-. 

Однако, если сопоставить слова объять, объятия с разъять, разъём, изъятие, изъять, родство которых носитель русского языка может чувствовать (слова действительно связаны общим происхождением от древнего глагола яти 'брать'), в которых легко опознаются приставки с характерными для них значениями, то можно выделить общий корень -я-/-ём-. Его значение сформулировать трудно, оно не так легко вычленяется из значения слова, как значение многих других корней. Но в языке есть такие семантически опустошенные корни (напр., в словах об/у/ть, раз/у/ть). Так что выделение приставки об- в слове объятия имеет под собой научные основания. Методически такой анализ слов тем более целесообразен. Отказавшись выделять приставку в словах объем, разъем, объятия, взъерошить и многих других, нам придется усложнять правило употребления разделительных ъ и ь знаков большим списком слов-исключений. Ни методисты, ни лингвисты не идут этим путем, предпочитая чуть более этимологизированный анализ структуры слова, поддерживаемый языковой интуицией (ср. описание орфографии слова объять в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря»).

Не стоит спорить о структуре подобных слов, гораздо интереснее и полезнее понаблюдать за разными языковыми явлениями и закономерностями. Если ребенок может сам объяснить то, как разделил слово на морфемы, если для его разбора есть лингвистические основания, то такой разбор, конечно, нужно принять. Но при этом важно объяснить, что здесь возможен и другой подход.

Это безударное падежное окончание прилагательного проверяется по достаточно сложному правилу. Если под ударением в другом прилагательном, стоящем в такой же падежной форме, мы пишем О, значит, в безударной позиции в нужном нам прилагательном будет Е.

На наш взгляд, нет совершенно никаких оснований снижать за это оценку. В русской языковой картине мира помидор и баклажан, безусловно, овощи. В сочинении на ЕГЭ по русскому языку вряд ли проверяется знание строгой ботанической терминологии.