Рекомендация нашего «Справочника по пунктуации» состоит в том, что присоединяемые предлогом «начиная с», обычно обособляются. Обособление не требуется, если предлог «начиная с» в буквальном смысле указывает на время, дату начала чего-либо (при этом слово «начиная» обычно можно опустить). Следовательно, в данном случае правильный вариант: Все члены ряда, начиная с пятого, больше нуля.

Правильно: в изучении, в покорении. Однако в поэтической речи возможна замена: в изученье, в покоренье. Так что ошибки нет. Отметим также, что правилами допускается и поэтический вариант в изученьи, в покореньи.

Существительные с неодносложной основой муж. и сред, рода на -ий и -ие в предл. п. и жен. рода на -ия в дат. и предл. п. ед. ч. имеют в безударном положении, в отступление от обще- го правила, окончание -и, а не -е, напр.: гений — о гении, натрий — о натрии, радий — о радии, Василий — о Василии, Юрий — о Юрии, отделение — в отделении, возвращение — по возвращении, содействие — при содействии; армия — к армии, об армии; линия — по линии, на линии; станция — к станции, на станции; Болгария — по Болгарии, в Болгарии; Мария — к Марии, о Марии. При наличии вариантов на -ие и -ье, -ия и -ья указанные падежные формы имеют разные окончания -и и -е: ср., напр., вариантные пары типа об умении — об уменье, в цветении — в цветенье, о многословии — о многословье, о Наталии — о Наталье, к Марии — к Марье. 

Примечание. В художественной, особенно поэтической, речи допускается написание форм предл. п. существительных сред, рода на -ье (обычно при предлоге в) с окончанием -и, напр.: В молчаньи шел один ты с мыслию великой(П.); Подвиг есть и в сраженьи, / Подвиг есть и в борьбе. / Высший подвиг — в терпеньи, / В любви и мольбе (Хом.); И снег соперничал в усердьи/ С сумерничающею смертью (Б. Паст.); «В очарованьи» (название стихотворения И. Северянина); Птицы кричат в поднебесьи, / Сердце стучит в подреберьи (В. Долина). Под ударением окончание предл. п. -и отмечается только у одного слова на -ье: забытьё — в забытьи́.

Да, именно так.

Верно: ...которые сейчас включают в себя четыре совершенно разных направления.

Наречие вновь имеет два значения (смБольшой универсальный словарь русского языка):

ВНОВЬ, нареч.

● 1.0. Ещё раз. Син. опять употр. чаще, снова употр. чаще, ещё¹. Увидеться в. Вчера он в. опоздал. Аня в. и в. убеждала нас не продавать дачу. ● 2.0. Впервые, только что. В. созданная организация. Все квартиры во в. строящемся доме уже проданы. ◒ Единожды солгавши, кто вновь тебе поверит – см. поверить. || Морф. в=новь. Дер. От прил. новый (См.).

Так что выражение вновь созданный может означать и "впервые созданный", и "еще раз созданный". 

Сочетания глагола внять с одушевленными существительными корректны: не внял начальнику, не вняли жалобщикам, внял заступникам, не внял Богу.

Мы не выполняем домашние задания. 

Правильно: останется в рабочем состоянии. В этом предложении требуется форма предложного падежа: в состоянии. Другой вариант неверен.