Возможны варианты. Сегодня чаще можно услышать: ехать поездом, лететь самолетом.
См. в Словаре трудностей.
Корректно: Отдых всегда должен быть рациональным, приносить пользу и являться радостью для души.
Инфинитивную конструкцию бежать за ним можно рассматривать как «представляющую форму», которая называет то, на чем сосредоточивается внимание («Русская грамматика» 1980 г., т. 2, § 2675). Действительно, такую форму можно отделить с помощью тире: Уходит из-под носа мой автобус, но бежать за ним — не побегу, пускай уходит.
Правильного варианта нет (точнее, нет словарной фиксации). Лучше сказать случайный, произвольный.
Правильно: сетях.
Правильно: подвизаться.
Вы правы, следует поставить запятую и тире: Когда всё вокруг цветет: земля, деревья, сама душа, – не возникает вопроса о бренности жизни.
Наречие порой предполагает, что здесь нужно деепричастие несовершенного вида: не находя себе покоя порой. В целом по смыслу, возможно, следует оставить деепричастие не найдя и заменить слово порой каким-то другим словом.
