Слово Берлин лучше написать в скобках: Анна Фогель (Берлин) разработала методику...
В слове понять корень с чередованием я/им, ср.: понятый, понятный, понимать, понимание. Исторически по- является приставкой, при более этимологичном подходе к морфемному членению ее выделяют и сегодня, сопоставляя слова понять, понимать и унять, унимать, внять, внимать.
Для корней с чередованием а(я)/им/ем и а(я)/ин в орфографии есть правило. Его можно прочитать, например, в справочнике ресурса «Орфографическое комментирование русского словаря». Там же можно найти множество слов с той же орфограммой.
Общеупотребительный вариант: полька. В разговорной речи допустимо: полячка.
Предпочтительно: в выходные. На выходных – разговорно-просторечный вариант, но в непринужденной речи он возможен.
Запятая не требуется.
Выбор формы зависит от смысла предложения. Правильно: дать (немного, много) денег, дать (эти) деньги.
В данном случае возможны обе падежные формы.
