Заглавная и прописная буква – это одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчная.

Слово храм 'архитектурное сооружение' пишется со строчной, например: храм Всех Святых, храм Христа Спасителя. Прописная буква – в таком контексте: орден рыцарей Храма.

Слово государственный пишется с прописной буквы, если является первым словом в названии органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных, зрелищных заведений; наград, символов и т. п, например: Государственная Дума, Государственная Третьяковская галерея, Государственный фонд кинофильмов РФ, Государственный институт русского языка им. А. С. Пушкина, Государственный флаг РФ (в офиц. текстах), Государственная премия. В остальных случаях правильно написание со строчной, например: Единый государственный экзамен, Московский государственный лингвистический университет, государственное унитарное предприятие, органы государственной власти.

Есть правило: внутри выражений фразеологического характера с двумя повторяющимися союзами и…и, ни…ни запятая не ставится: и день и ночь; и смех и горе; и стар и млад; и так и этак; и там и сям; и туда и сюда; ни бе ни ме; ни больше ни меньше; ни брат ни сват; ни взад ни вперёд; ни да ни нет; ни дать ни взять; ни два ни полтора; ни дна ни покрышки; ни днём ни ночью; ни жив ни мёртв; ни рыба ни мясо; ни за что ни про что; ни убавить ни прибавить; ни стать ни сесть и т. д.

Вы правы в том, что кавычки употреблены неудачно. Если их и ставить, то закрыть нужно после фамилии. Однако при употреблении названия не в юридических документах в форме школа № 2129 имени Героя Советского Союза П.И. Романова кавычки не нужны вообще. 

Ответ департамента образования тоже верен: нормы употребления кавычек не устанавливаются законодательно. Как записали название в уставе, так и будет оно воспроизводиться во всех документах. Чтобы изменить название, нужно произвести сложные юридические действия, на это нужна добрая воля руководителя организации и его руководства. Изменение даже только кавычек в названии влечет за собой множество юридических проблем, поэтому обычно названия сохраняют в том виде, в котором они уже закреплены.

Для первого названия существует словарная фиксация: Книга Памяти. Оба слова пишутся с заглавной буквы как слова, выражающие высокие священные понятия. Строчные буквы будут указывать на то, что название употребляется как родовое, обозначающее тип книги, например:

Судьбы всех земляков-фронтовиков, их боевой путь, подвиги, награды нашли отражение в книге памяти «Путь Победы».

Завершается работа по созданию книги памяти о фронтовиках «И в бою и в труде».

Второе название словарями не фиксируется. Если в книге отмечаются настоящие подвиги людей, то возможно слово почет писать с заглавной буквы (ср.: орден Почета, «Знак Почета» (орден). В других случаях рекомендуем написание Книга почета и при употреблении в качестве родового обозначения — книга почета.

В словаре «Грамматическая правильность русской речи» даются следующие рекомендации. В строгом деловом стиле наименования, которые обозначают официальную должность, иногда употребляются в форме мужского рода: управляющим делами назначена... Форма мужского рода используется во всех тех случаях, когда в контексте на первое место выдвигается сообщение о должности или занятии безотносительно к полу называемого лица. На табличке с указанием должности и фамилии, которая прибивается к двери кабинета, лучше всё же написать форму женского рода: управляющая делами И. П. Орлова. Точно так же и в приказе о премии предпочтителен женский вариант.
Таким образом, в качестве общеупотребительной формы в обиходной письменной и особенно устной речи предпочтительна форма женского рода.

Даже в отсутствие словарной фиксации можно однозначно утверждать, что написание раменъя недопустимо. По правилам русской орфографии разделительный ъ пишется после согласных перед буквами я, ю, ё, е только в 3 случаях: 1) после приставок, оканчивающихся на согласный (объехать); 2) в сложных словах после начальных частей двух, трёх, четырёх и в словах панъевропейский, фельдъегерь; 3) при передаче иноязычных собственных имен и производных от них слов (Кизилъюрт). Во всех остальных случаях в разделительной функции используется ь. Понятно желание авторов статьи подчеркнуть твердость согласного н, но в разделительной функции ь не указывает на мягкость предшествующего согласного и может использоваться в том числе после твердых согласных (ср. шью).

Не является ошибкой преднамеренное употребление просторечных языковых единиц (так называемое экспрессивное просторечие): нормалёк, пацан, обалденно, дрыхнуть, примазываться, в том числе просторечно-экспрессивных языковых метафор: ржать — ‘смеяться’, лапы, грабли, клешни — ‘руки’. Многие элементы социального просторечия используются в экспрессивном просторечии как средства передразнивания, языковой игры. Это экспрессивное удлинение звуков в слове: ккааззёл, намеренные отклонения от нормы произношения: где же наш сантэхник?, собачья жисть, словоупотребления: баба — ‘девушка’, ‘жена’, грамматики: тут всего делов-то, я всех победю. Элементы и социального, и экспрессивного просторечия часто используются в художественной литературе как сильное выразительное средство, особенно при речевой характеристике персонажей, в целях языковой игры.

В «Справочнике по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование» Д. Э. Розенталя, Е. В. Джанджаковой, Н. П. Кабановой указано следующее. 

Слова на -мый (причастия и отглагольные прилагательные) пишутся раздельно, если они употребляются без не и при этом имеют:

а) в качестве пояснительных слов местоимения и наречия, начинающиеся с ни;

б) усиливающие отрицание сочетания далеко не, вовсе не, отнюдь не и др.;

в) усиливающий отрицание повторяющийся союз ни... ни;

г) зависящие от них существительные в творительном падеже со значением действующего лица или орудия действия.

Во всех остальных случаях они пишутся слитно. 

В примере невидимые за листьями нет ни одного из условий для раздельного написания, поэтому нужно писать слитно.

Варианты окончания творительного падежа мн. числа -ами (-ями) / -(ь)ми в древности принадлежали разным типам склонения имен существительных. Однако после унификации склонения существительных во множественном числе для всех слов нормативным стало окончание -ами (-ями). И лишь у нескольких слов в современном русском языке возможно окончание -(ь)ми. У слова дети форма детьми единственно возможная. В парах дверями — дверьми, лошадями — лошадьми, дочерями — дочерьми возможны оба варианта, причем более употребительно окончание -(ь)ми. У слова звери предпочтительным считается форма зверями; вариант зверьми рассматривается как устаревающий. Кроме этого, у слов кость и плеть при нормативных формах костями, плетями формы на -(ь)ми сохраняются в устойчивых сочетаниях лечь костьми, бить плетьми.