Имя и фамилия физика обычно склоняются (правильно: изобретение Николы Теслы). Несклоняемой остается эта фамилия в составе технического наименования (трансформатор Тесла) и, по рекомендации некоторых словарей, в качестве названия единицы измерения магнитной индукции (тесла).
Ошибок нет.
Правильно: я занята.
Можно поставить точку или восклицательный знак. Запятая не нужна.
В состав современного русского литературного языка слово прорешивать не входит, так говорить не следует.
Правильно: Сначала я не поняла, при чём тут Нижний Новгород. Обособляется придаточное предложение.
Образование формы 1-го лица ед. числа глагола бдеть затруднительно.
На нашем портале нет сервиса автоматической проверки пунктуации. Но есть словарь-справочник, посвященный пунктуационным трудностям.
Корректно: Я не знаю, что делать, или не хочу. Сказуемые не знаю и не хочу однородны, между ними придаточное предложение что делать, которое нужно выделить запятыми.
Да, запятую надо поставить.
