В таких случаях гласный не пропадает. Правильно: зооолимпиада.

Правила русской орфографии оговаривают только, что в слитно пишущихся словах не пишется больше двух одинаковых согласных подряд, хотя бы это и требовалось составом слова. Так возникают написания типа рассориться (рас+ссориться), колонный (от колонна: колонн+ный). Сочетание в слитно пишущих словах трех одинаковых гласных не нарушает норм русского письма.

Словосочетания тавтологичны, но при этом сравнительно часто используются в профессиональной речи в качестве точных и удобных обозначений части тела и предмета, предназначенного для этой части тела. Обратимся к примерам: нагрузка на суставы и поясничный пояс; упражнения, разогревающие поясничный пояс и стопы; укрепить плечевой и поясничный пояс; носить поясничный пояс, зафиксировать с помощью ортопедического поясничного пояса, согревающий пояс для поясницы.

В приведенных примерах отсутствие кавычек оправданно. Обычно не выделяется кавычками прямая речь, если нет точного указания, кому она принадлежит (это Ваш первый пример); если она приводится в таком виде, который может иметь и косвенная речь с этим же лексическим составом. При этом слова, указывающие на источник сообщения, в периодической печати могут выделяться одними запятыми, без тире (как в последнем Вашем примере).

Размещенный на нашем портале «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова указывает на такое значение слова бродяга: 'о том, кто вызывает удивление, восхищение своим проворством, изворотливостью'. Хитёр, бродяга! Обещал достать и достал, бродяга!

Можем предположить, что это значение производно от предшествующего: 'о том, кто часто и надолго отлучается из дома, кто возвратился домой после длительной отлучки (о человеке или животном)'. Кот-бродяга. Вернулся-таки, бродяга.

Однородные члены с обобщающими словами могут быть выражены не только существительными. Вот примеры из справочника Д. Э. Розенталя: Отец совершил несколько будничных движений: достал бумажник, порылся в нем, извлек две старые трешницы, получил билеты; Хорь понимал действительность, то есть: обстроился, накопил деньжонку, ладил с барином и с прочими властями; И старичок, и я — мы оба веселились; Везде: над головой, под ногами и рядом с тобой — живет, грохочет, торжествуя свои победы, железо.

Подлодка — это сложносокращенное слово. При этом способе словообразования сокращение производящих основ происходит произвольно, без соотношения с морфемным составом слова. При словообразовательном анализе компонент под- в слове подлодка представляет собой сокращение производящей основы подводн-. В данном случае начальная часть сложносокращенного слова совпадает с приставкой производящего слова, однако в производном сложносокращенном слове компонент под- не является приставкой.

Определить собственно морфемный статус этого компонента затруднительно, корректно опираться на понятие «усеченная производящая основа».

Существительное обсчет может обозначать действие по глаголам обсчитать и обсчитаться. В свою очередь, у глагола обсчитать есть два значения: 1. Умышленно неверно сосчитав, недодать. 2. (Спец.) Произвести подсчет чего-л., просчитать что-л.

В данном случае подходит второе значение. На это указывает и сочетаемость слова: оно используется с дополнением заказа. Если бы речь шла о неверном подсчете, такого сочетания не могло быть (автор написал бы: обсчет покупателя или что-то подобное).

Таким образом, быстрый обсчет заказа — это профессионализм, означающий быструю обработку (расчет) заказа.

Правильно только вря[т] ли. Произношение вря[д] ли неправильно. См.: Каленчук М. Л., Касаткин Л. Л., Касаткина Р. Ф. Большой орфоэпический словарь русского языка. М., 2012.

Дело в том, что при тесном слиянии в произношении какого-либо слова с последующим на месте звонких согласных на конце первого слова произносятся глухие согласные не только перед глухими согласными следующего слова, но также перед гласными и перед [р], [л], [м], [н], [й], [в]. Ср.: горо[т] Ростов, скла[т] машин, здоро[ф] ли он.