Запятая перед что необходима в обоих случаях: она разделяет главную и придаточную части сложноподчиненного предложения. В первом случае слово что является союзом, во втором — союзным словом. Поскольку на союзное слово, в отличие от союза, падает логическое ударение, это уместно обозначить в тексте шрифтовым выделением или надстрочным знаком, например: Я знаю, что́ говорю.

В этом предложении глагол смотри может иметь прямое глагольное значение (говорящий предлагает адресату направить взгляд на что-л.) либо значение междометия (говорящий выражает удивление по поводу чего-л., см. словарную статью слова смотреть в «Большом толковом словаре»). В обоих случаях запятая перед что нужна, но во втором предложение уместно сделать восклицательным: Смотри, что придумали!

Связь между сказуемыми обеспечивают и запотевают (при одном подлежащем очки) гораздо более тесная, чем между сказуемым запотевают (однородным сказуемому обеспечивают) и безличным предложением в них бывает жарковато, так что обстоятельство иногда здесь невозможно считать относящимся к обеим частям. Следовательно, запятая нужна: Эти очки обеспечивают лучшую защиту, но иногда запотевают, и в них бывает жарковато.

Возможны два варианта: 1. Слово 13-го является уточняющим обстоятельством по отношению к обстоятельству в пятницу: В пятницу, 13-го, всё возможно. 2. Слово 13-го является несогласованным определением по отношению к существительному пятница (пятница 13-го выступает как особое понятие): В пятницу 13-го всё возможно. Заметим, что в обоих случаях числительное должно стоять в форме родительного падежа.

Запятая в обоих случаях нужна. Расхождение в ответах могло быть связано с недостаточно четким описанием подобных пунктуационных ситуаций в правилах. Однако руководствоваться следует такой рекомендацией: пояснительные члены предложения (в том числе определения), вводимые союзами или, то есть, следует обособлять. Ср. с таким примером Д. Э. Розенталя: Отметим два вида возбуждающей, или входной, функции. Ответы на вопросы № 292575, 290853 уточнены. 

У глагола провести среди прочих значений есть следующие: "оформить, соблюдая все необходимые правила" (Провести счет через бухгалтерию. Провести сотрудника по штату. Провести приказом по институту) и "осуществить, произвести, выполнить какие-либо действия, работу" (Провести репетицию. Провести заседание. Хорошо провести урок. Провести соревнования. Провести уборку урожая).

Таким образом, сочетание провести платеж может употребляться в обоих смыслах, о которых Вы пишете.

Ошибки в обоих случаях нет, однако...

Односоставное предложение имеет только один из главных членов. Главный член в нем независим, поэтому некорректным было бы характеризовать главный член любого односоставного предложения в терминах двусоставного — как сказуемое или подлежащее. Однако в школьной практике (в ряде учебников) сохраняется традиционная классификация односоставных предложений: с главным членом — сказуемым и с главным членом — подлежащим.

В этом предложении одна придаточная часть (если она настоящая) и две главные части. К ним обеим придаточная часть и относится: хорошо пахнет (при каком условии?), если она настоящая и мыть ее не нужно (при каком условии?), если она настоящая. Если придаточная часть относится к двум частям, связанным союзом и, то запятая между частями (перед союзом) не ставится.

1. С прописной буквы. 2. Со строчной. 3. Уточняющее определение выделяется с обеих сторон. 4. Правильно: или, точнее, постановкой... 5. Правильно с прописных. 6. Возможно с тире. 7. Корректно с двоеточием и прописной буквой. 8. Оформление корректно. 9. Запятая не нужна. 10. Корректно двоеточие или тире. 11. См. ответ № 194965. Название правильно писать в кавычках: «Минеральные удобрения»...