Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Запятая нужна, она отделяет деепричастный оборот.
Запятая стоит верно.
Если придаточная часть сложноподчиненного предложения стоит перед главной, запятая между частями союза перед тем как обычно не ставится. Запятая после придаточной части (после ПО) нужна.
Запятая стоит правильно.
Запятая в этом предложении не нужна.
В зависимости от намерений пишущего возможны варианты: А там вдали, в долине, стоял гусарский полк и А там, вдали, в долине, стоял гусарский полк.
Правильно: вoдя́щий.
Корректны оба варианта.
Часть официального названия, начинающуюся со слова Оренбургский, необходимо заключить в кавычки. Склонять ее не нужно. Ср.: учиться в ГБОУ ВПО «Российский государственный гуманитарный университет».
