Корректен первый вариант. Подробнее о склонении фамилий см. в «Письмовнике».

Да, фамилия Кандыба склоняется (и мужская, и женская). К сожалению, законы склонения фамилий неизвестны большому числу носителей языка (ошибаются даже филологи), хотя эти правила приводятся во многих справочных пособиях по русскому языку, в том числе широкодоступных. Правда, чаще возникает обратная ситуация: учитель настаивает на склонении фамилии по правилам, а ученик или его родители категорически протестуют.

Склоняются все три части: острова-града Свияжска, острову-граду Свияжску и т. д.

Носитель фамилии прав. Фамилии вообще лучше склонять без выпадения гласного, т. к. они выполняют в том числе юридическую функцию. В тех же случаях, когда фамилия совпадает с нарицательным существительным, надо использовать любую возможность для разграничения фамилии и омонимичного ей нарицательного существительного. В данном случае такая возможность – сохранение гласного при склонении фамилии.

Подлежащее и сказуемое, выраженные существительными, стоят в форме именительного падежа (при склонении они перестанут быть подлежащим и сказуемым). Если имеется в виду фраза типа Я отправился к брату-врачу, то здесь сочетание двух существительных является дополнением и приложением. Приложение может пунктуационно оформляться по-разному. См.: Правила русской орфографии и пунктуации. Полный академический справочник / Под ред. В. В. Лопатина. М., 2006 (и более поздние издания), раздел «Знаки препинания при обособленных приложениях».

Название гриба вешенка является общепринятым, поэтому кавычками не выделяется. Слово вешенка должно согласовываться с определяемым словом гриб: грибом вешенкой, о грибе вешенке. Ср. дерево береза, на дереве березе. 

Интересный вопрос. Грамматического запрета на склонение фамилии Навсегда нет, по правилам ее нужно склонять. Кроме того, в устной речи (где не бывает прописных и строчных букв) сочетания типа с Еленой Навсегда будут поняты неправильно (навсегда будет воспринято как обычное наречие, а не как фамилия). Поэтому наша рекомендация – склонять эту фамилию.

Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласную, склоняются. Подробности см. в «104">Письмовнике» и в рубрике «Азбучные истины».

Беглый гласный при склонении исчезает (ср. замочек): (любимый) внучек – (приезд) внучка, (дать конфету) внучку и т. д.

Все мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный (независимо от их языкового происхождения), в русском языке склоняются (кроме фамилий на -ых, -их типа Черных, Долгих). Мужские фамилии на -ян, -як, -янц тоже склоняются.