1. «Большой толковый словарь русского языка» под ред. С. А. Кузнецова (см. сервис «Проверка слова») фиксирует слова эпиляция и депиляция как синонимичные. Соответственно, возможно как биоэпиляция, так и биодепиляция.

2. Знак / (косая черта) допускается использовать в функции, близкой к союзам и и или, в научной и деловой речи.

В сочетании со словом город слово Олимпия в любом случае является приложением. Правило о склонении названий городов в сочетании со словом город распространяется не только на исконные наименования, но и на давно заимствованные и освоенные. К этой группе и можно отнести слово Олимпия. Поэтому сочетание в городе Олимпии соответствует литературной норме.

Правильно: ранее неизвестный, пока неизвестный, еще неизвестный, но: никому не известный. Противоречия в ответах нет: наличие пояснительных слов, как правило, не влияет на слитное написание не с прилагательным. Исключение составляют только несколько случаев, один из таких случаев – наличие в качестве пояснительных слов отрицательных местоимений и наречий, начинающихся с ни. Их появление приводит к замене слитного написания на раздельное.

Предложение Решение о назначении публичных слушаний должно приниматься не позднее чем за 30 дней до даты рассмотрения вопроса на публичных слушаниях построена корректно. Ее значение: от момента назначения публичных слушаний до их проведения должно пройти не менее 30 дней. Больше можно, меньше нельзя. Слова не позднее чем можно заменить на «самое позднее». Если бы нужно было выразить значение «должно пройти не более 30 дней», следовало бы написать решение... должно приниматься не ранее чем за 30 дней...

Слово конкурс может писаться с большой буквы, например, если это первое слово официального названия. В данном случае нет оснований писать слово конкурс с большой буквы.

Мы также рекомендуем немного перестроить предложение: Предприятие проводит конкурс "Золотая осень" для детей сотрудников.

Словарной фиксации для этого слова нет. После русской приставки пред-, имеющей значение 'ранее чего-либо', корректно написание корня с ы: предымплантационный. Ср.: предынфарктный. 

На ОГЭ выполнять морфемный разбор ребенку не придется. Одна из причин состоит как раз в том, что для школы четких критериев морфемного разбора до настоящего времени не сформулировано. В идеале при делении слова на морфемы учитываться должны только современные смысловые и структурные связи слов. С этих позиций в словах впечатление и осаждать вполне оправданно выделение корней впечатл- и осажд-, а в слове старинный – корня -стар-.

При обращении к истории слов могут обнаруживаться связи, которые уже не осознаются всеми или значительной частью носителей языка. Однако когда-то эти связи были, и кем-то они еще могут ощущаться. Такой «исторический» взгляд на слово дает основание выделять корни -печатл- и -сажд-. И с такой точки зрения объяснение учителя совершенно правильно. 

Нужно ли показывая детям такое «историческое» членение слова? Полагаем, что да. Т. к. одна из наиболее важных задач школы – научить ребенка грамотно писать. А очень часто объяснить написание слов мы можем, только обратившись к их исторической структуре, этимологии. См., например, ответ на вопрос № 284145.

Написание зависит от смысла: Так же можно (=таким же способом, как описывалось ранее, т. е. самостоятельно, прочитав информацию в интернете) и Также можно (=а еще можно...).

Если имеется в виду "мы нуждались в вашей помощи ранее и будем нуждаться в ней во время тестирования" (также можно заменить на тоже), то верно слитное написание: В процессе тестирования программы мы также будем нуждаться в вашей помощи и участии.

Фразу нужно перестроить. Возможен такой вариант: Время выполнения задачи сократилось: ранее оно составляло час, теперь – менее 30 минут.