Корректны оба варианта.

В обоих случаях возможны варианты – с запятой и с двоеточием.

Правильно: материально ответственный.

Первая часть сложных слов материально... пишется через дефис в сочетании со второй частью – относительным прилагательным, напр.: материально-денежный, материально-сырьевой, материально-технический, материально-товарный, материально-финансовый; пишется раздельно в сочетании со второй частью – качественным прилагательным, напр.: материально ответственный, материально выгодный, материально невыгодный; пишется раздельно с прилагательным-причастием, напр.: материально зависимый, материально заинтересованный, материально независимый, материально необеспеченный, материально обеспеченный. См.: Бешенкова Е. В., Иванова О. Е., Чельцова Л. К. Объяснительный русский орфографический словарь-справочник. М., 2015.

Слова *отстригнуть не существует. Правильно только отстричь.

Словарная фиксация: День знаний. В названиях праздников с прописной буквы пишется первое слово и собственные имена, входящие в название.

«Справка» не выполняет домашних заданий.

Функционально это заголовки. 

Здесь действует следующее правило.

При двух или нескольких управляющих словах общее зависимое слово допустимо тогда, когда каждое из управляющих слов требует того же падежа и предлога, например: читать и конспектировать книгу; подбирать и готовить кадры.

Наличие общего зависимого слова при различном управлении нарушает стилистическую норму, например: «с помощью и в сотрудничестве с местными организациями» (ср. правильный вариант: с помощью местных организаций и в сотрудничестве с ними).

Поэтому в Вашем случае верно: управление системой и контроль над ней. О предлогах при слове контроль см. в вопросе 277510.

В этом случае сочетание: две души. Числительное два (две) требует формы единственного числа родительного падежа, поэтому ударение падает на и: две душИ.

Правильно: правила, помогающие; правил, помогающих.